Количество участников осталось таким же, как и в прошлый раз, однако состав претерпел изменения: присутствовали Лёша, Оля, Лёша и Катя.

На этот раз Лёша принес на выбор две задачи с этого сайта. Эта задача показалась после некоторого рассмотрения более симпатичной, чем задача с интегралом. Соответственно, первой и было посвящено очередное заседание.
Требовалось доказать, что если x и у - есть положительные иррациональные числа, такие что
,
то последовательность [x], [2x], [3x], ..., [y], [2y], [3y], ... включает в себя любое положительное целое число, причём только один раз. При этом подразумевается, что [u] обозначает наибольшее целое число, такое что n ≤ u.

После недолгих размышлений Оля предложила решение первой части задачи. То есть доказательство того, что произвольное целое положительное число будет включено в эту последовательность. Оно заключается в следующем. Предположим, что какое-то N не вошло в нашу последовательность. Это означает, что найдутся целые положительные k и m, для которых выполняется [(k-1)x] < N и [kx] ≥ N +1, а также [(m-1)y] < N и [my] ≥ N+1. Отсюда, используя то, что x и y положительные по условию, получаем:



Откуда следует, что



Для обратных величин будут справедливы следующие неравенства:


И наконец



Затем, пользуясь тем, что

получаем из правой части , что m+k > N+1. Поскольку мы имеем дело с целыми числами, то m+k ≥ N+2 .

Таким образом, приходим к противоречию для

.
Слева - величина, которая ≥ 1, а справа - равна 1. Это значит, что наше предположение неверно. И каждое число хотя бы раз встретится в рассматриваемой последовательности.

Теперь докажем, что каждое число встретится в ней ровно один раз. Это успешно проделал по аналогии с предыдущими рассуждениямиЛёша.

Предположим, что для какого-то числа N есть два элемента в поледовательности, которые ему равные. Пусть это будет [kx] и [my].

Тогда из того, что [kx] = N и [my]=N получаем, что

.

Из чего следует, что



и затем, что

.

После суммирования получаем

.

Отсюда мы видим, что k+m ≥ N+1 (рассуждения аналогичны вышеприведённым). И приходим к противоречию. Для неравенства


левая часть ≥ 1, а правая - равна 1. Следовательно, наше предположение о том, что таких чисел может быть два, неверно. Остаётся принять, что каждое положительное целое обязательно встретится в нашей последовательности и ровно один раз.